排列与组合
排列与组合
题型：选择或填空
分值：5分
考查核心：考查学生的逻辑思考能力，如何运用“分类加法”和“分步乘法”两类计数原理来解决相应的问题。
基础知识
1.两个计数原理
加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
2.排列
从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
3.组合
从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
4.排列数与组合数计算公式
常见题型与解题思路
01
分配问题
第一步：选择分配对象
从总体中选出要分配的对象。如果分配的就是总体，忽略这一步。
第二步：将选出的分配对象分堆
分堆问题分为平均分配和不平均分配。原则是：有几堆数目相同就除A几几。
如：将四个人分为三堆，每堆数量为2、1、1，则一共的分法有：
第三步：将每堆分配
几堆对应几个地方就是A几几。
例1
S1：6个人全部分配，第一步省略；
S2：三个地方每个地方2人，即平均分为三组每组两人：
S3：三组分配至三个地方，即A33。
02
排序问题
排序问题主要强调两类问题：“在一起”捆绑法和“不相邻”插空法。
a. “在一起”捆绑法
第一步：捆绑
所谓“捆绑”，即将捆绑之后元素作为一个元素考虑。将两个元素捆绑就是A22，将三个元素捆绑就是A33，以此类推。
第二步：排序
将捆绑后的元素作为一个元素与其他元素排列即可。
b. “不相邻”插空法
第一步：排板
将其他元素作为板进行排列。
第二步：插空
将插空元素排列到空中即可。
例2
A选项，“不相邻”插空法：
S1：排板，将C、D、E作为板进行排列A33；
S2：插空，三个板四个空排列AB，即A42。
D选项，“在一起”捆绑法：
S1：捆绑，A、B两个元素，A22；
S2：排列，A和B作为一个元素和C、D、E排列，即A44。
C选项，特殊的插空：
S1：排A和B作为板，A在B左边，故只有一种排法；
S2：排C，A、B为板，有3个空，故C有3个位置可选；
S3：排D，A、B、C为板，有4个空，故D有4个位置可选；
S4：同理，E有5个位置可选，故3*4*5。
B选项，特殊元素类型，见后文。
03
特殊元素
所谓特殊元素，即某些位置对于特定元素有要求，如例2B选项，即所谓“孔”，对A元素最左边为“孔”不能去；对B元素，最右边为“孔”不能去。
此类问题有两种：“一个孔问题”堵孔法和“两个孔问题”分类讨论。
例3
五位偶数要求最后一位是偶数，即第五位数是一个孔，只能由2、4、6其中一个去堵孔。
S1：选元素堵孔，从2、4、6中选一个去堵孔C31；
S2：剩余4个元素没有要求，全排列A44.
例2B选项
“两个孔问题”分类讨论，分类的方法就是其中一个特殊元素是否去堵另一个孔。如果是，则两孔均堵完，问题退化为“一个孔问题”堵孔法；如果否，则分两步进行堵孔。
T1：A去最右边堵B的孔，则其他四个元素无其他要求，A44。
T2：A不去最右边堵B的孔，则：
T2S1：则从中间三个位置选一个排A，C31；
T2S2：从C、D、E中选一个去堵最右边B的孔，C31；
T2S3：剩余三个元素全排列A33。
分类加法分步乘法，即：
04
对立
“对立”问题，处理有“至少”“至多”等字眼的问题。也有一些隐含的对立问题，这些问题需要大家积累。
例4
“可构成三角形=总体 – 不可构成三角形”，所以是一个对立问题。
不可构成三角形的情况是三个点在同一边上，所以可构成三角形的个数是：
05
染色问题
染色问题是排列组合问题中最难的问题之一，考试中不常见。染色问题采取的答题策略是“步中有类”。一块挨着一块图，遇到所图颜色影响到后续涂色的时候进行分类。
例5
上述两个例子均为涂色问题，只是出题载体不同。采用“步中有类，步步为营”的解题策略：
1、2、3、4、5五块土地，假设五种颜色为a、b、c、d、e：
S1：涂1，有5种选择，便于理解，假设涂a；
S2：涂2，与1不同有4种选择，假设涂b；
S3：涂5，与1、2不同有3种选择，假设涂c；
S4：涂3，3与1均与4相邻，共同决定4的选择，因此需要分类：
S4T1：3与1同，1种选择，即涂a；
S4T1S5：此时，4只需与1（与3同）和5不同即可，因此有3种选择；
S4T2：3与1不同，还需与2、5不同，即有两种选择，可涂d、e；
S4T2S5：此时，4需与1、3、5不同，因此有2种选择。
涂色完成，分步乘法，遇到分类则用加法，有结果如下：
5*4*3*(1*3+2*2)
总结
排列组合问题是高考中常考的题型，出题类型基本上为以上五种，大家需要深刻理解，多多练习。考试出现的时候能够认识是哪种类型，然后选择对应的答题策略进行解题。
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